Verhoudingen VO

KNOW | bijgewerkt op 18 januari 2013

Een verhouding is een evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige beschrijvingen. Begrip van verhoudingen houdt in dat de relatie tussen die verschillende beschrijvingen kan worden gelegd. Verhoudingen kunnen worden beschreven:

  • in verhoudingentaal, zoals bij ‘één op de tien Nederlanders’ of ‘het aantal fietsers is twee keer zo groot als het aantal automobilisten’
  • in breukentaal, bijvoorbeeld ‘driekwart van de inwoners is ouder dan 25 jaar’
  • met procenten, zoals 70 procent van de mensen is voor de aanleg van een randweg

Voor veel verhoudingsproblemen (al dan niet in het dagelijks leven) is een kennisbasis uit rekenen en wiskunde nodig.

Wat weten we?

Een verhouding is een evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige beschrijvingen. Voorbeelden zijn: schaal (plattegronden, landkaarten en maquettes), benzineverbruik (de auto verbruikt 1 op 18) en samengestelde grootheden als prijs per eenheid (1 kilo gehakt kost €…) of snelheid (80 kilometer per uur). Een bijzonder soort verhoudingen zijn de procenten (per 100).

We kunnen onderscheid maken tussen interne en externe verhoudingen (Freudenthal, 1983).  Interne verhoudingen geven een relatie weer binnen dezelfde grootheid of tussen getallen die op hetzelfde betrekking hebben. Voorbeelden: vader is twee keer zo lang als dochter, 3 van de 4 kinderen hebben een huisdier; 35% van de auto’s is wit. Externe verhoudingen geven een relatie weer tussen verschillende grootheden. Voorbeelden: prijs per eenheid en kilometer per uur.

Er zijn een aantal bijzondere, meetkundige verhoudingen, waaronder de gulden snede (?) en de verhouding tussen de omtrek en diameter van een cirkel (π).

Verhoudingen staat bekend als een lastig onderwerp (Hart  1988). Leerlingen herkennen niet altijd het vermenigvuldigkarakter van het rekenen met verhoudingen en gaan in plaats daarvan optellen.

Verhoudingen kennen allerlei verschijningsvormen, waaronder breuk, percentage kommagetal, samengestelde grootheid. Inzicht in de relatie tussen de verschillende verschijningsvormen van verhoudingen wordt essentieel geacht voor het begrijpen van en het kunnen redeneren over verhoudingen (Behr et al, 1992). Het is dus belangrijk dat leerlingen leren herkennen wanneer het om een verhoudingsprobleem gaat. In het voortgezet onderwijs komen verhoudingen in allerlei verschijningsvormen in heel veel vakken voor. Het gebruik van dezelfde aanpak in alle vakken, bijvoorbeeld met de verhoudingstabel, ondersteunt de samenhang en bevordert het begrip van verhoudingen (Valk, e.a. 2000).

Waarschijnlijk mede door de nadruk op evenredige verbanden binnen het basisonderwijs hebben leerlingen de neiging om ook evenredige verbanden te veronderstellen waar dat niet het geval is (Van Dooren et al, 2004; De Bock et al, 2002). Een voorbeeld van een niet-evenredig verband is de relatie tussen lengte en oppervlakte bij vergroting of verkleining van een object: een vierkant waarvan de zijde twee keer zo groot wordt, krijgt een vier maal zo grote oppervlakte.

Dat betekent voor de praktijk

Het feit dat verhoudingen door de vele verschijningsvormen niet zo zichtbaar zijn, speelt ook door in het voortgezet onderwijs. De ‘procentenopgave’ worden wel als zodanig herkend maar andere verhoudingsopgaven bijvoorbeeld die waarin samengestelde grootheden voorkomen of schaal, vaak niet. Het is belangrijk dat leerlingen dit wel leren doen. De samenhang met breuken en decimale getallen en het gebruik van de verhoudingstabel (Wijers, 2008) kunnen dan ondersteuning bieden bij het aanpakken van de verschillende typen verhoudingsopgaven.

Het is daarbij ook van groot belang te laten zien dat verhoudingen vaak in de vorm procenten ook in toepassingssituaties in andere vakken dan rekenen en wiskunde een belangrijke rol spelen. In het project ‘Rekenbewust vakonderwijs’ wordt hier aandacht aan besteed.

Taal van verhoudingen
Bij het rekenen met verhoudingen speelt taal een belangrijke rol. Door expliciet aandacht te besteden aan de betekenis van vakbegrippen en aan het actief gebruiken van deze begrippen leren leerlingen de verhoudingen beter te begrijpen en de rekenkundige bewerkingen die daar bij horen uit te voeren.

Verhouding
Het begrip verhouding drukt een evenredig verband tussen twee (of meer) getalsmatige of meetkundige grootheden uit.

De verhouding tussen meisjes en jongens is 2 staat tot 1: er zitten twee keer zoveel jongens als meisjes in deze klas.

Staat tot
De verhouding van limonadesiroop en water is 1 : 6. (1 staat tot 6).

De verhouding tussen de afstand op de kaart en de afstand in de werkelijkheid (in het echt) is 1:100 (1 staat tot 100). Dus 5 cm op de kaart is 500 centimeter in het echt.

De verhouding 3 staat tot 6 is gelijk aan de verhouding 1 staat tot 2.

…van de …
In drie van de vier gezinnen krijgen kinderen van 12 jaar kleedgeld

… op de …
Drie op de vier kinderen van 10 jaar heeft een telefoon.

Per
Eens per vier jaar (een keer in de vier jaar) zijn er verkiezingen.

… keer zo … als …
Er zijn vier keer zoveel stoelen als tafels.

De zak drop is twee keer zo zwaar als de zak met spekkies.

Vermenigvuldigen bij verhoudingen
Drie keer zoveel x dan ook 3 keer zoveel y. Drie keer zoveel meel dan ook drie keer zoveel suiker.

Vermenigvuldigfactor
Dit samengestelde begrip verdient toelichting. Het gaat bij het rekenen met verhoudingen vaak om het vermenigvuldigen met een bepaalde factor. Ook percentageproblemen kunnen meestal worden aangepakt met een vermenigvuldigfactor, hoewel dit voor veel leerlingen te moeilijk is.

Tabel
Een tabel is een overzichtelijke manier om getallen/ gegevens op te schrijven. Het moet duidelijk zijn voor de leerlingen dat niet elke tabel een verhoudingstabel is.

Samengestelde grootheid
Bij verhoudingen kan het gaan over het verband tussen een deel en het geheel (18 van de 27 leerlingen hebben al twee zwemdiploma’s) in dat geval gaat het over één grootheid (in het voorbeeld het aantal leerlingen). Er kunnen ook twee verschillende grootheden verhoudingsgewijs met elkaar worden vergeleken. Wie zegt: ‘mijn scooter rijdt 1 op 30’, geeft daarmee de verhouding aan tussen het aantal kilometers en het aantal liters benzine dat nodig is om deze afstand af te leggen. Het kan ook omgekeerd 30 op 1 de samengestelde grootheid is dan benzineverbruik in l/km. Ook (gemiddelde) snelheid is een voorbeeld van een samengestelde grootheid (de afgelegde weg wordt verhoudingsgewijs vergeleken met de daarvoor benodigde tijd). Samen praten over de betekenis van zo’n samengstelde grootheid en benoemen dat het hier om een verhouding gaat is nodig voordat leerlingen daarmee gaan rekenen. De kans bestaat anders dat ze niet begrijpen waarmee ze bezig zijn als ze dit soort opgaven met een verhoudingstabel uitrekenen

Schaal
Schaal is een voorbeeld van een verhouding. Bij schaal vergelijkt men iets uit de werkelijkheid met een afbeelding daarvan in het klein; ook kan er sprake zijn van een vergroting.

De mate waarin de werkelijkheid is verkleind (of vergroot), wordt aangeduid door bij de afbeelding de schaal te vermelden. Zo betekent de vermelding: schaal 1 : 100.000 op een kaart dat alles op de kaart 100.000 maal zo klein is weergegeven als de werkelijkheid (of dat alles in werkelijkheid 100.000 maal zo groot is als op de kaart). Ofwel: een weggetje op die kaart dat bij opmeten 6 cm lang blijkt te zijn, zal in werkelijkheid 100.000 x 6 cm = 600.000 cm = 6.000 m = 6 km lang zijn’.

Handreikingen

Tips

  • Besteed aandacht aan de samenhang tussen verhoudingen, breuken, procenten en kommagetallen. Het is in veel dagelijkse situaties zinvol om de overstap te maken tussen de ene notatievorm (respresentatie) en de andere.
  • De verhoudingstabel (zie het eerdergenoemde artikel van Wijers, 2008) is een ideaal hulpmiddel voor handig en inzichtelijk rekenen omdat de tabel uitnodigt tot het noteren van tussenstappen. De tabel is een hulpmiddel en moet niet altijd kant en klaar beschikbaar zijn. Geef leerlingen ook verhoudingsproblemen waarbij de tabel niet is gegeven.

Lesmaterialen voor verhoudingen in het vo

referenties

Leraar24 helpt je graag met kennis over onderzoek en onderwijs in de praktijk.

Leraar24 helpt je graag met kennis over onderzoek en onderwijs in de praktijk.