onderzoek
po

Breuken in het po

In het dagelijks leven spelen breuken slechts een beperkte rol. Eenvoudige breuken als de helft, een derde en driekwart worden veel gebruikt, maar verder is de rol van breuken grotendeels overgenomen door procenten en kommagetallen. Inzicht in breuken vormt echter het fundament voor het begrijpen van verhoudingen, kommagetallen en procenten. De breuken verdienen daarom een belangrijke plaats in het onderwijs.

Wat weten we?

Het concept van een breuk is een basaal concept (Behr e.a. 1992, van Galen e.a., 2005). Het is niet voor niets dat breuken al lang voor het begin van de jaartelling bekend waren bij de Babyloniërs, bij de Egyptenaren en in India. Het concept van een breuk sluit ook heel direct aan bij het denken van jonge kinderen (Griffin e.a., 1992).

Situaties met breuken kunnen we – heel grof – onderscheiden in verdeelsituaties en meetsituaties (Streefland, 1983, Keijzer, 2003). Breuken ontstaan als bij het verdelen van objecten niet iedereen een geheel aantal objecten kan krijgen. Wanneer 4 kinderen 7 repen verdelen heeft ieder kind recht op 1 ¾  reep. Breuken ontstaan bij het meten wanneer er behoefte is aan een meer verfijnde maat. Denk bij dat laatste aan de Engelse inch als 1/12 van een foot; ook in Nederland zijn eeuwenlang zulke maten gebruikt. Kommagetallen zijn in dit opzicht ook breuken: zoveel tienden, zoveel honderdsten.

Wanneer we de verschijningsvorm van breuken nog preciezer analyseren kunnen we zes verschijningsvormen onderscheiden: deel van een geheel, deel van een hoeveelheid, meetgetal, de uitkomst van een verdeling, een verhouding en een rationaal getal (Treffers & Streefland, 1994, Buijs e.a., 1996). Vaak gaan verschillende verschijningsvormen samen. De uitkomst van een verdeling (4 kinderen verdelen 3 pizza’s) kan een deel van een geheel zijn (3/4 pizza).

We moeten ons realiseren dat kinderen op een veel concreter niveau denken over breuken dan volwassenen. Een volwassene kent breuken als op zichzelf staande, mentale objecten die bijvoorbeeld vergeleken kunnen worden op grond van vrij abstracte redeneringen: 4/5 is minder dan 5/6, want 4/5 ligt verder van 1 omdat 1/5 meer is dan 1/6. Kinderen hebben nog heel lang nodig dat ze kunnen denken aan concrete contextsituaties wanneer ze met breuken redeneren (Mack, 1990).

Bij het ontwikkelen van kennis op een meer formeel niveau spelen modellen en schema’s een belangrijke rol. Zo’n model kan een brugfunctie vervullen tussen het redeneren over concrete situaties en het redeneren met breuken als mentale objecten. De belangrijkste modellen binnen het breukenonderwijs zijn de cirkel, de strook, de gewone getallenlijn en de dubbele getallenlijn.

Geconstateerd is dat het onderwijs rond breuken in het voortgezet onderwijs niet goed aansluit op het onderwijs op de basisschool (Gravemeijer, Bruin-Muurling & van Eijck, 2009; Bruin-Muurling, 2010). Er is op beide schooltypen weinig aandacht voor de overgang van het contextgebonden rekenen naar de formele wiskunde (het proces van verticaal mathematiseren). Voor het basisonderwijs is dit volgens de kerndoelen een differentieel doel.

Dat betekent voor de praktijk

Gezien de veelzijdigheid van breuken lijkt het gewenst om in het onderwijs allerlei verschillende breuksituaties aan de orde te laten komen. Voor een leerlijn breuken kan het verdelen van objecten als ingang worden genomen, maar ook het meten (Treffers & Streefland, 1994; Van Galen e.a., 2005). In de Nederlandse methoden komen meestal beide aspecten naast elkaar aan de orde.

Binnen een contextsituatie zijn breuken altijd het zoveelste deel van iets en het is goed om leerlingen te vragen dat in hun antwoorden ook aan te geven. Als 2 kinderen 3 pannenkoeken verdelen krijgt elk kind niet ‘1 ½’, maar ‘1 ½ pannenkoek’, of ‘1 pannenkoek + ½ pannenkoek’. Uiteindelijk moeten breuken voor kinderen echter ook op zichzelf staande, mentale objecten worden.

Het cirkelmodel en het strokenmodel zijn vooral geschikt om de relatie tussen een deel en het geheel weer te geven. Dat geheel kan 1 zijn, maar ook bijvoorbeeld 16 miljoen mensen (‘een kwart van de Nederlandse bevolking vindt dat …’).  De getallenlijn is abstracter, maar leent zich goed voor het visualiseren van de rol die breuken ook hebben als getallen: breuken kunnen geordend worden op die lijn en ook bijvoorbeeld getallen als 3 ½ hebben een positie op de getallenlijn.

Belangrijk is dat leerlingen een relatienet van breukenkennis ontwikkelen. Ze moeten bijvoorbeeld weten dat 1/3 evenveel is als 1/6 + 1/6, dat ½ + ¼ samen ¾ is, dat 1/6 kleiner is dan 1/5. Dit staat los van contextsituaties (Streefland, 1983; Keijzer, 2003).

Wat betreft de operaties met breuken (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen met breuken) weten we dat slechts een deel van de leerlingen op de basisschool genoeg inzicht ontwikkelt op een formeel niveau om die operaties betekenisvol te kunnen uitvoeren. De meeste leerlingen kunnen echter wel redeneren op een minder formeel niveau, binnen vertrouwde, concrete contextsituaties. Aansluitend bij de kerndoelen lijkt het verstandig om op de basisschool met name te investeren in het ontwikkelen van inzicht bij het rekenen in contextgebonden situaties en terughoudend te zijn met het aanleren van formele rekenregels voor het opereren met breuken (Van Galen e.a., 2005).

Een deel van de basisschoolleerlingen is echter wel in staat tot meer formeel redeneren met breuken en zou op dit punt ook gestimuleerd moeten worden. Volgens Gravemeijer, Bruin-Muurling & van Eijck (2009) en Bruin-Muurling (2010) moet er in het basisonderwijs meer aandacht komen voor het ontwikkelen van een netwerk van getalrelatie en voor de relaties tussen oplossingstrategieën. Leerlingen zouden ook de operaties met breuken moeten onderzoeken. Voor het voortgezet onderwijs geldt, volgens deze auteurs, dat men zich ervan bewust moet zijn dat het breukenonderwijs op de basisschool niet is afgerond.

Bij het onderwijs in breuken dient men zich steeds af te vragen welke functie de kennis van de leerlingen gaat krijgen. Formele kennis van breuken – waaronder kennis van rekenoperaties met breuken – is met name belangrijk voor het algebra-onderwijs in havo en vwo. Het gebruik van eenvoudige breuken in concrete, betekenisvolle situaties is voor alle leerlingen van belang. Voor het basisonderwijs is het belangrijk dat het onderwijs in de breuken een fundament legt voor het begrijpen van procenten en kommagetallen.

Handreikingen

In Volgens Bartjens staan regelmatig heldere artikelen met betrekking tot breuken en breukendidactiek. Bijvoorbeeld:

Thema

Curriculum

Onderwerpen

Rekenen & wiskunde

Auteur(s)
Behr, M. J., Harel, G., Post, T. and Lesh, R.
Jaar
1992

Auteur(s)
Bruin-Muurling, G.
Jaar
2010

Auteur(s)
Buijs, K., Bokhove, J., Keijzer, R., Lek, A., Noteboom, A. and Treffers, A.
Jaar
1996

Auteur(s)
Griffin, S., Case, R. and Sandieson, R.
Jaar
1992

Auteur(s)
Keijzer, R.
Jaar
2003

Auteur(s)
Keijzer, R., Figueiredo, N., Van Galen, F., Gravemeijer, K. and Van Herpen, E.
Jaar
2005

Auteur(s)
Mack, N. K.
Jaar
1990

Auteur(s)
Streefland, L.
Jaar
1983

Auteur(s)
Treffers, A. and De Moor, E.
Jaar
1999

Auteur(s)
Treffers, A. and Streefland, L.
Jaar
1994

Beschrijving
De conclusie in dit artikel is dat er een aansluitingsprobleem zit in de leerlijn van primair naar voortgezet onderwijs dat betrekking heeft op hoe de leerlingen met breuken leren rekenen.
Auteur(s)
Gravemeijer, K.P.E., Bruin-Muurling, G. & Eijck, M. van
Jaar
2009


E-mailadres wordt niet gepubliceerd. Hiermee kunnen wij reageren op je bericht.