Verhoudingen – rekenen PO

KNOW | bijgewerkt op 18 januari 2013

Het gebruik van verhoudingen varieert van de dagelijkse boodschappen, waarbij men zich bij verschillende merken en verpakkingen kan afvragen wat naar verhouding het voordeligst is, tot het gebruik maken van landkaarten en andere afbeeldingen op schaal. Meetkundige verhoudingen spelen van jongs af aan een rol bij het interpreteren van de wereld. Ook bij veel (getalsmatige) informatie gaat het om verhoudingen, zoals hoe vaak een bepaalde beroepsziekte voorkomt of wat het benzineverbruik van een auto is.

Wat weten we?

Een verhouding is een evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige beschrijvingen. Voorbeelden zijn: schaal (plattegronden, landkaarten en maquettes), benzineverbruik (de auto verbruikt 1 op 18) en samengestelde grootheden als prijs per eenheid (1 kilogehakt kost €…) of snelheid (80 kilometerper uur).

Waarschijnlijk mede door de nadruk op evenredige verbanden binnen het basisonderwijs hebben leerlingen de neiging om ook evenredige verbanden te veronderstellen waar dat niet het geval is (Van Dooren et al, 2004; De Bock et al, 2002). Een voorbeeld van een niet-evenredig verband is de relatie tussen lengte en oppervlakte bij vergroting of verkleining van een object: een vierkant waarvan de zijde twee keer zo groot wordt krijgt een vier maal zo grote oppervlakte.

We kunnen onderscheid maken tussen interne en externe verhoudingen (Freudenthal, 1983). Interne verhoudingen geven een relatie weer binnen dezelfde grootheid of tussen getallen die op hetzelfde betrekking hebben. Voorbeelden: vader is twee keer zo lang als dochter, 3 van de 4 kinderen hebben een huisdier. Externe verhoudingen geven een relatie weer tussen verschillende grootheden. Voorbeelden: prijs per eenheid en kilometer per uur.

Er zijn een aantal bijzondere, meetkundige verhoudingen, waaronder de gulden snede en de verhouding tussen de omtrek en diameter van een cirkel.

Verhoudingen staat bekend als een lastig onderwerp (Hart 1988). Leerlingen herkennen niet altijd het vermenigvuldigkarakter van het rekenen met verhoudingen en gaan in plaats daarvan optellen.

In het basisonderwijs wordt het onderwerp verhoudingen meestal niet op zichzelf in een eigen leerlijn aangeboden, maar in samenhang met breuken, procenten en kommagetallen. Verhoudingen is daarbij enerzijds het overkoepelend begrip, anderzijds gaat het bij het rekenen met en redeneren over verhoudingen ook om een specifiek onderwerp in de bovenbouw van het basisonderwijs (Keijzer et al, 2005).

Verhoudingen kennen allerlei verschijningsvormen, waaronder breuk, percentage kommagetal, samengestelde grootheid. Inzicht in de relatie tussen de verschillende verschijningsvormen van verhoudingen wordt essentieel geacht voor het begrijpen van en het kunnen redeneren over verhoudingen (Behr et al, 1992). Het is dus belangrijk dat leerlingen leren herkennen wanneer het om een verhoudingsprobleem gaat.

Het gebruik van dezelfde strategieën en modellen (strook, dubbele getallenlijn, verhoudingstabel) bij alle deelgebieden ondersteunt de samenhang en bevordert het begrip van verhoudingen.

Dat betekent voor de praktijk

Het feit dat verhoudingen door de vele verschijningsvormen niet zo zichtbaar zijn speelt ook door in het onderwijs. Terwijl leerlingen heel snel zien dat iets een ‘breukenopgave’ of een ‘procentenopgave’ is, herkennen ze verhoudingsopgaven vaak niet als zodanig. Het is belangrijk dat ze dat wel leren doen en de verhoudingstabel (Wijers, 2008) kan daar een belangrijke rol bij spelen.

Het Tal-team (Keijzer et al, 2005) bepleit een verschuiving van ‘kunnen’ naar ‘begrijpen van kerninzichten’, bijvoorbeeld: inzicht in evenredigheden.

Drie factoren lijken een rol te spelen bij het vlot kunnen oplossen van elementaire verhoudingsopgaven:

  • Doorzien, herkennen, dat het om een verhoudingsprobleem gaat (in de ene situatie eenvoudiger dan in de andere);
  • De mate van complexiteit van de verhouding: van 4 naar 6 personen omrekenen is veel eenvoudiger dan bijv. van 7 naar 5;
  • De complexiteit van de getallen: zit er 350 g rijst in een pak, dan is dat lastiger om te rekenen dan 400 g.

Om het vlot leren oplossen te bevorderen, kan het aanbeveling verdienen om:

  • De leerlingen ruime ervaring te laten opdoen met visueel-schematisch weergeven van probleemsituaties;
  • Op basis daarvan modellen te introduceren die het oplossingsproces kunnen ondersteunen, dit zijn strook en dubbele getallenlijn;
  • De verhoudingstabel op basis van het werken met deze modellen te introduceren als een handig rekenschema.

In Breuken procenten kommagetallen en verhoudingen wordt gepleit voor een verschuiving in het onderwijs, waarbij het accent vooral ligt op begrijpen in plaats van kunnen. Het uitgangspunt is dat leerlingen leren doorzien wat de achterliggende concepten zijn in plaats van uitsluitend de formules uit hun hoofd te leren. Als er minder hoge eisen gesteld worden aan het beheersingsniveau van formele procedures kan er meer tijd worden geïnvesteerd in het begrijpen van kernzaken.

Handreikingen

Tips

  • Besteed aandacht aan de samenhang tussen verhoudingen, breuken, procenten en kommagetallen. Het is in veel dagelijkse situaties zinvol om de overstap te maken tussen de ene notatievorm (respresentatie) en de andere.
  • De verhoudingstabel (zie het eerdergenoemde artikel van Wijers, 2008) is een ideaal hulpmiddel voor handig en inzichtelijk rekenen omdat de tabel uitnodigt tot het noteren van tussenstappen. De tabel is een hulpmiddel en moet niet altijd kant en klaar beschikbaar zijn. Geef leerlingen ook verhoudingsproblemen waarbij de tabel niet is gegeven.

Lesideeën

Het werken met verhoudingen is een belangrijke activiteit in groep 7 en 8 van de basisschool. Drie lessuggesties:

– Absoluut en relatief
– Lekker Zoet
– Verhoudingstabel

referenties

Leraar24 helpt je graag met kennis over onderzoek en onderwijs in de praktijk.

Leraar24 helpt je graag met kennis over onderzoek en onderwijs in de praktijk.