onderzoek
po

Vermenigvuldigen PO

Deze publicatie gaat over de didactiek van vermenigvuldigen. Vermenigvuldigen beschrijft ‘een herhaalde optelling’. Bij de vermenigvuldigsom 6 x 5 = kan men denken aan zes briefjes van elk 5 euro. Bij elkaar is dat dus 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30 euro. Het aanleren van de tafels van vermenigvuldiging zit vooral in de groepen 4, 5 en 6 van de basisschool; het onderhouden van deze parate kennis vraagt voortdurende aandacht in de jaren erna.

  • Embedcode

Wat weten we?

Het aanleren van de tafels van vermenigvuldigen gebeurt op een gestructureerde wijze. In Nederland worden vooral de tafels 1 t/m 10 aangeleerd. Eerst worden de ‘makkelijke tafels’ aangeboden (1, 2, 10, 5) en daarna komt de rest. In veel gevallen is er daarna (zeker voor de snellere leerling) nog aandacht voor mooie tafelproducten boven de 10 (bijvoorbeeld 11 x 11, 12 x 12, maar ook 10 x 11). Veel leerlingen bouwen op deze wijze een voldoende vaardigheid op om te werken met de tafels van vermenigvuldiging (Jansen 2005, Hop 2012).

Vermenigvuldigen komt ook bij oppervlakteberekeningen voor (Barmby, 2009). De vermenigvuldigsom 6 x 5 = komt dan voor door te denken aan hoeveel m2 vloerbedekking men nodig heeft bij een kamer van 6 bij 5 m. Dan lijkt het herhaalde optellen uit zicht. Dat is slechts schijn. In de bovenbouw wordt kinderen geleerd een rechthoek bij deze situatie te tekenen en die te bedekken met tegels van elk 1 m2 groot.

Ook dan kan het antwoord gevonden worden door te denken aan een herhaalde optelling: zes rijen met ieder 5 tegels. Vervolgens kan door de kinderen de rekenregel ontdekt worden dat bij het berekenen van de oppervlakte van een rechthoek de lengte keer de breedte mag worden uitgerekend. Bij vermenigvuldigingen waarin breuken voorkomen, kan afhankelijk van de voorkomende getallen gedacht worden aan een herhaalde optelling of aan een rechthoek waarvan de oppervlakte berekend moet worden.

Op basisscholen wordt tijd gestoken in het ‘van buiten leren’ van de tafelproducten (het inslijpen) en het herleiden van tafelproducten (reconstrueren). Als je bijvoorbeeld 9 x 7 niet meer uit je hoofd weet, kun je de ‘buursom’ 10 x 7 nemen en dan is het antwoord op 9 x 7 eenvoudig te herleiden. In feite betekent deze vaardigheid van herleiden dat je actief met getallen en hun relaties bezig bent. Het is belangrijk dat er zowel geoefend wordt in het uit-het-hoofd-leren als het herleiden (Treffers, 1990).

Dat betekent voor de praktijk

In de huidige didactiek fungeren bepaalde vermenigvuldigingen als vaste steunpunten in een op te bouwen relatienetwerk (Groenewegen, 2000). Bij steunpunten denken we bijvoorbeeld aan opgaven die een prettig in het gehoor liggende klank hebben, of een bepaalde affectieve waarde of signaalkarakter dragen voor het kind, zoals bij rijmpjes in de trant van 3 x 3 = 9, de dubbelen (2 x 2), de kwadraten (4 x 4, 6 x 6), enzovoort.

Voor veel kinderen is het ondoenlijk om alleen via memoriseren tot beheersing van de tafels te komen. Daarom vindt uitbreiding van de kennis van tafels plaats door het leggen van relaties (denkstrategieën) tussen gekende en nieuw te leren tafels.

Hierdoor kan het kind de kloof die er gaapt tussen ‘het uit het hoofd kennen’ en ‘het bij voortduring op moeten zeggen van een tafelrij’ zoals dat bij de traditionele methoden het geval was, overbruggen.

Een voorbeeld: een kind moet de opgave ‘6 x 7’ uitrekenen. Het weet al dat 5 x 7 = 35. Door het kind zich te laten realiseren dat ‘6 x 7’ eigenlijk ‘7’ meer is dan het antwoord bij ‘5 x 7’, wordt het van de last ontslagen om de tafelrij van ‘1 x 7’ tot ‘6 x 7′ te moeten opzeggen om tot het juiste antwoord te komen. Ook kan het antwoord worden vastgesteld met behulp van de omkeerregel ‘7 x 6 = 6 x7’, verdubbelen (‘3 x 7 + 3 x7’), of door gebruik te maken van een kwadraat (‘7 x 7’). Pas nadat het kind met deze volwaardiger oplossingsmethoden heeft kennisgemaakt, kan herhaald oefenen bijdragen tot verhoging van snelheid en nauwkeurigheid van het aldus geconstrueerde oplossingsgedrag.

Handreikingen

Hier enkele tips van School Aan Zet

Tip 1 – Veel aandacht voor het begrip vermenigvuldigen Een voorwaarde bij het leren van de tafels is het begrip van wat vermenigvuldigen nu eigenlijk is. Met name zwakke rekenaars hebben hier moeite mee. Door kinderen regelmatig verhalen te laten bedenken bij de sommen wordt steeds de koppeling gemaakt tussen het verhaal en de rekentaal. Hierbij is het belangrijk dat kinderen steeds andere verhalen vertellen. Belangrijk bij het vertellen van deze verhalen is dat kinderen dit kunnen laten zien met materiaal, dat ze er een lange optelsom bij kunnen maken en dat ze dit verhaal kunnen vertalen in een tekening en laten zien met sprongen op de getallenlijn. Tip 2 – Wat te doen als kinderen problemen hebben met de reconstructie van tafels Problemen met het reconstrueren (kennisopbouw) van de tafels komen vaak voort uit onvoldoende voorkennis in het rekenen tot 100 (zie Tafeldidactiek. Voor de tafel van 7 is dat, het dubbele van 7 en 14, de helft van 70 en de volgende sommen: 14 + 7, 35 – 7, 35 + 7, 42 + 7, 63 – 7 en 70 – 7. Deze sommen kunnen eventueel getekend worden op de getallenlijn. Wanneer het probleem zit in de constructie van de tafel is het belangrijk om met concreet materiaal aan de slag te gaan, bijvoorbeeld met groepjes van 7 gummetjes. Vanuit dit materiaal kunnen de verschillende hulpsommen aan de orde komen

DOEL: Aan het einde van groep 5 zijn de tafels van vermenigvuldiging geautomatiseerd.

Tip 3 – Maak gebruik van strategieën 1 x 7 een weetje
  • 2 x 7 een dubbele 7 + 7
  • 3 x 7 via (2 x 7) + 7; één maal meer
  • 4 x 7 als verdubbeling van 2 x 7 of één maal minder (5 x 7) – 7
  • 5 x 7 halveren van 10 x 7, de helft van 70
  • 6 x 7 via (5 x 7) + 7
  • 7 x 7 een weetje: een kwadraat,zoals 1 x 1, 2 x 2
  • 8 x 7 via (7 x 7) + 7
  • 9 x 7 (10 x 7) – 7, één maal minder
  • 10 x 7 een weetje

Belangrijk is om kinderen te richten op de centrale steunpunten van 2x, 5x en 10x. Als kinderen vanuit de steunpunten de strategie één keer meer of één keer minder toepassen kunnen bijna alle sommen uitgerekend worden. De sommen 7 x 7 en 8 x 7 blijven dan over en verdienen extra aandacht. 7 x 7 is meestal een weetje. Vanuit hier kan dan 8×7 uitgerekend worden. Zwakke rekenaars gebruiken bij 8 x 7 zelden de verdubbeling van 4 x 7. Ze moeten dan eerst 4 x 7 uitrekenen, via 5 x 7; 35 -7. De 28 moet dan nog verdubbeld worden, wat dan nog een hele opgave is.

Naarmate de kinderen steeds meer tafelkennis bezitten kan ook de verwisselregel ingezet worden.

Tip 4 – Wat te doen als kinderen problemen hebben met de reconstructie van tafels

  • Ga altijd uit van de keersommen die kinderen al meteen weten. Deze kunnen als hulpsommen dienen voor het snel vinden van het antwoord op de andere sommen uit de tafel.
  • Oefen een tafel tegelijk, begin met de steunpunten 2x, 5x en 10x. Als deze tafel wordt beheerst, kan er over gegaan worden naar de volgende tafel.
  • Oefen vaak en kort. Na het gericht inoefenen van strategieën kan af en toe de tafels ook akoestisch (of zingend) opgezegd worden.
  • Gebruik oefenspelletjes zoals tafelbingo, tafeldomino, tafelkwartet. Ook ouders kunnen hier een rol bij spelen. Hierbij is het wel van belang dat ouders weten hoe de tafels op school aangeboden worden.
  • Zet de tafels die problemen geven op kaartjes. Deze tafels worden steeds geoefend, eventueel in tweetallen. Als de kinderen de tafel weten kan dit kaartje weg.

Geef zwakke rekenaars geen tafelkaart. Met deze kaart leren ze de tafels nooit wat veel problemen gaat opleveren in de bovenbouw. Voor deze kinderen is het zinvol om alleen in groep 5 een tafelkaart te maken met hierop alleen de antwoorden van de hulpsommen 2x, 5x en 10x

Spelletjes

Aan het einde van groep 5 zijn de tafels van vermenigvuldiging grotendeels geautomatiseerd. Dan komt de periode van onderhouden. Dit kan onder andere met spelletjes als Kikkerdisco, PostTafelgetallen en Vijf op een rij.

Thema

Curriculum

Onderwerpen

Rekenen & wiskunde

Auteur(s)
Barmby, P., Harries, T., Higgins, S. and Suggate, J.
Jaar
2009

Auteur(s)
Berkel, S. van, Krom, R., Heesters, K., Schoot, F. van der, & Hemker, B.
Jaar
2008

Auteur(s)
Treffers, A. and De Moor, E.
Jaar
1999

Beschrijving
In de huidige didactiek fungeren bepaalde vermenigvuldigingen als vaste steunpunten in een op te bouwen relatienetwerk. Dit artikel bevat een flinke lijst verwijzingen naar artikelen over vermenigvuldigen op de basisschool.
Auteur(s)
Groenewegen, K.
Jaar
2000


E-mailadres wordt niet gepubliceerd. Hiermee kunnen wij reageren op je bericht.