onderzoek
vo

Wiskundige DenkActiviteiten in Praktijk

Leerlingen die wiskundig leren denken, leren een vaardigheid waarvan ze hun hele leven plezier hebben. In het dagelijks leven is logisch denken of het oplossen van problemen zeer nuttig. Maar hoe leer je leerlingen wiskundig denken? Wat kun je doen als docent? Welke opgaven zijn geschikt? Dit artikel richt zich op deze vragen.

Wat weten we?

Wiskundig denken is niets nieuws, maar het staat weer volop in de belangstelling. Dit komt door de invoering van de nieuwe examenprogramma’s in 2015. Er leven bij docenten vaak vragen rondom denkactiverende wiskundelessen. Welke opgaven kun je aanbieden? Wat kan je als docent doen om leerlingen aan het denken te zetten?

Over deze vragen is nagedacht binnen het onderzoek ‘Wiskundige denkactiviteit in praktijk’.  Dit onderzoek is mogelijk gemaakt door het Nationaal Regieorgaan Onderwijsonderzoek (NRO). Het is uitgevoerd door een zestal docenten in samenwerking met het Freudenthal Instituut van de Universiteit Utrecht en het Cito.

Binnen het onderzoek is gekeken naar een koppeling tussen de bestaande theorie en praktijk. De theorie over wiskundig denken en aspecten daarvan (probleemoplossen, abstraheren en modelleren) is bestudeerd om daaruit ideeën voor de praktijk te halen. Met deze tips en ideeën zijn de docenten aan de slag gegaan en hebben ze ontdekt wat goed en minder goed werkt.

Nuttig bleek het werk van Mason (2000), Schoenfeld (1992) en Van Streun (2014). Daaruit blijkt dat de leraar een sleutelrol speelt bij het wiskundig denken van leerlingen. Wil je leerlingen laten denken, dan is het stellen van de goede vragen belangrijk. Ook de houding van de docent blijkt van belang.

Minder nuttig waren de vele voorbeelden van opgaven die in de literatuur worden genoemd. Vaak zijn dit uitgebreide opgaven, waar leerlingen minstens een les aan moeten werken. Dit blijkt in de praktijk niet haalbaar. Een goed bruikbare opgave sluit aan bij het curriculum en kost niet meer tijd dan het zou kosten om de stof via het boek te leren.

Dat betekent voor de praktijk

Uit de literatuur blijkt dat de docent een belangrijke rol speelt bij het wiskundig denken van leerlingen. Drijvers (2015) haalt in zijn oratie een aantal van deze onderzoeken aan en geeft extra uitleg over wiskundig denken. Maar wat kun je als docent met deze theorie? In ons onderzoek hebben we ontdekt wat je praktisch kunt doen om leerlingen aan het denken te zetten.

Allereerst kun je als docent opgaven uitzoeken of ontwikkelen die aanzetten tot denken. Daarbij kun je je laten inspireren door de online Opgavencollectie wiskundige denkactiviteiten (2015). Een eenvoudige methode is het naar voren halen van een opgave. Zoek hiervoor een opgave waarin de betreffende theorie duidelijk naar voren komt. Verwijder eventueel (een aantal) tussenvragen. Laat leerlingen hier aan werken en laat hen zelf de theorie ontdekken.

Daarnaast kun je als docent in de les regelmatig het denken van leerlingen prikkelen. De docenten binnen ons onderzoek merkten dat als je hier bewust mee bezig bent, je steeds meer kansen gaat zien. Wiskundig denken wordt als het ware een ‘way of life’.

Binnen het onderzoek hebben we een aantal lessen van docenten gefilmd. Fragmenten uit deze lessen, gecombineerd met tips van docenten, zijn samengevoegd tot een aantal korte filmpjes.

Handreikingen

De resultaten van het onderzoek naar Wiskundige DenkActiviteiten in de Praktijk zijn samengevat in de Handreiking denkactiverende wiskundelessen (2015). In deze handreiking staan heel veel praktische aanwijzingen en tips voor denkactiverende wiskundelessen. Hieronder volgen twee korte lijstjes met tips om direct aan de slag te gaan.

De ideale denkactiverende wiskundedocent:

  • Geeft geen antwoorden, maar stelt vragen.
  • Geeft leerlingen denktijd.
  • Vraagt door op reacties van leerlingen.
  • Heeft zelf plezier in wiskundig denken.
  • Bedenkt bij het voorbereiden van de les op welke manier hij het denken kan activeren.
  • Besteedt aandacht aan het oplossingsproces.
  • Reflecteert met de hele klas op de gebruikte strategieën.
  • Bouwt de hoeveelheid hulp in de loop van de tijd af.
  • Geeft het wiskundig denken ook een plaats in de toets.
  • Is doorlopend alert op kansen om leerlingen aan te zetten tot wiskundig denken.

De ideale denkactiverende wiskundeopgave:

  • Gaat over hoe én waarom.
  • Is een aansprekend probleem voor de leerling.
  • Heeft iets te bieden voor zowel de sterke als de zwakke leerling.
  • Kan op verschillende manieren worden aangepakt.
  • Is origineel of verrassend.
  • Vereist meerdere denkstappen.
  • Is open en niet te sturend.
  • Leent zich voor discussie tussen leerlingen of in de hele klas.
  • Zet aan tot terugkijken en reflectie.
  • Nodigt uit tot verder denken en vervolgvragen.

Binnen het onderzoek is een aantal lessen van docenten gefilmd. Fragmenten uit deze lessen, gecombineerd met tips van docenten, zijn samengevoegd tot een aantal korte filmpjes.

Daarnaast is een opgavencollectie Wiskundige Denkactiviteiten ontwikkeld.

Thema

Curriculum

Onderwerpen

Rekenen & wiskunde

Beschrijving
In: International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 31(1), 97-111. De wijze van vragen beïnvloedt het beeld dat leerlingen van wiskunde hebben. Wiskundig gestelde vragen helpen bij begripsvorming en betekenis geven.
Auteur(s)
Mason, J.
Jaar
2000

Beschrijving
In: D. Grouws (Ed.), Handbook for research on mathematics teaching and learning (334-370): Wat verstaan we onder wiskundig denken en probleemoplossen? Bespreking van verschillende studies, met definities en nuttige onderzoeksresultaten.
Auteur(s)
Schoenfeld, A. H.
Jaar
1992

Beschrijving
Vanuit de Nederlandse onderwijssituatie wordt wiskundig denken toegelicht. De auteur bespreekt opgaven uit pilot examens. Ook worden er praktische tips gegeven waar docenten mee aan de slag kunnen.
Auteur(s)
Van Streun, A.
Jaar
2014

Beschrijving
Oratie Paul Drijvers.
Auteur(s)
Drijvers, P.
Jaar
2015

Beschrijving
Website met opgaven voor wiskundige denkactiviteiten
Auteur(s)
Freudenthal Instituut
Jaar
2015

Beschrijving
In deze handreiking staan heel veel praktische aanwijzingen en tips voor denkactiverende wiskundelessen.
Auteur(s)
Bor-de Vries, M. en P. Drijvers
Jaar
2015

Beschrijving
Website met opgaven voor wiskundige denkactiviteiten
Auteur(s)
Freudenthal Instituut
Jaar
2015



Joost Hulshof | 6 maart 2017

De WDA hype is nu ook opgepikt door Onderwijs van Morgen. Zie hier:

http://www.onderwijsvanmorgen.nl/wiskundig-denken-wat-is-het-precies/


Joost Hulshof | 28 augustus 2016

Die nieuwe examenprogramma's: http://www.beteronderwijsnederland.nl/content/nieuwe-examenprogrammas-wiskunde-het-onderwijzen-en-toetsen-van-wiskundige-denkactiviteiten


joost hulshof | 16 augustus 2016

Een poging tot duiding: http://www.beteronderwijsnederland.nl/content/het-epsilon-handboek-voor-de-didactiek-van-de-wiskunde


joost hulshof | 14 augustus 2016

Voor de experts in wiskundige denkactiviteiten: https://www.youtube.com/watch?v=NcZKT5rDjI4


Willem van Ravenstein | 24 mei 2016

Ik wil ook reklame maken voor mijn boekje... o wacht moet ik eerst een boekje schrijven...


Ben Wilbrink | 22 mei 2016

De term denkactiviteit is een oxymoron. Dus ook wiskundige denkactiviteit. Het 19e eeuwse idee was dat Latijn en wiskunde nuttig zijn om te leren denken. Dat idee stemt overeen met de faculteitenpsychologie van die tijd (de hersenen als een verzameling denkspieren) die je dus kunt oefenen. Kundig overhoop geschoffeld door psycholoog Edward L. Thorndike, rond de eeuwwisseling. Met in de VS het verdwijnen van het vak Latijn tot gevolg. Onkruid vergaar niet, in de huidige hype van vaardigheden van de 21e eeuw komen die generieke vaardigheden weer terug. Maar helaas, die generieke vaardigheden bestaan niet. De vraag is dan: hoe zit het met dat wiskundig denken, is dat puur wiskunde, of is dat generiek denken? De wiskundige denkactiviteiten maken er een potje van. Voor wie dit allemaal te veel wordt: lees vooral het recent uitgekomen boek door Ericsson en Pool.


joost Hulshof | 22 mei 2016

Die reactie van Ben Wilbrink is helder en er was geen woord html bij. Onkruid vergaat niet schreef hij, in relatie tot de huidige hype van 21e eeuwse vaardigheden, terugverwijzend naar Thorndike.


Ben Wilbrink | 19 mei 2016

Mijn reactie wordt telkens geweigerd, met deze boodschap: U mag in uw reactie geen HTML gebruiken


Frans van Haandel | 19 mei 2016

Ik mis een inhoudelijke reactie op de reacties! De reacties lijken me keurig onderbouwd en verdienen dus repliek of erkenning.


Joost Hulshof | 16 februari 2016

Ik wijs op de evidente verwevenheid van pseudowetenschap en vakdidactiek voor rekenen en wiskunde in Nederland. Zie de redactieblog op het forum van Beter Onderwijs Nederland over Karin den Heijer en pseudowetenschap.


Joost Hulshof | 24 januari 2016

Zie Hoofdstuk 11 van het handboek voor de didactiek van de wiskunde van Drijvers et al. Het eerste voorbeeld van een wiskundige denkactivitiet komt uit een proefschrift, verdedigd op de UvA: http://dare.uva.nl/record/1/393998, promotor was Koeno Gravemeijer. De denkactiviteiten betreffen hier een formule die foutief formuleert dat, als je een grafiek horizontaal verschuift, ook de bijbehorende integralen en integralen op de voor de hand liggende manier veranderen. Dat vergt niet veel denkactivititeit, je moet je alleen niet vergissen met plussen en minnen. Om dan de vergiste formule te geven als conceptueel probleem is het paard achter de wagen spannen.


joost | 23 januari 2016

Wat opvalt in de WDA-lectuur is dat het nauwelijks over wiskunde gaat. Lees bijvoorbeeld het didactiekhandboek van Drijvers et al. Het eerste voorbeeld in het WDA hoofdstuk laat dat goed zien. Opmerkelijk ook is dat veelal gemankeerde examenopgaven als uitgangspunt genomen worden voor WDA en niet de wiskunde zelf, laat staan een echte toepassing. In het boekje Wiskunde in je Vingers proberen Ronald Meester en ik de lezer ook aan het kijken, denken en doen te zetten, maar niet vanuit zomaar wat.


Ton Langendorff | 15 november 2015

Zie ook mijn pas uitgekomen boek Denken wiskundigen wel zo exact? Observaties en gesprekken uitg. Athenaeum Ton Langendorff

E-mailadres wordt niet gepubliceerd. Hiermee kunnen wij reageren op je bericht.